GRADIENT DE GRAVITE |
CONTENU : Mis à jour novembre 2001
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Depuis presque toujours on a tendance à confondre centre d'inertie et "centre de gravité", une vieille erreur qui peut laisser supposer que la résultante des forces de gravitation passe par le centre d'inertie et par conséquent ne crée pas de couple autour de ce centre d'inertie G.
Cette fausse idée vient de la confusion pesanteur et gravitation comme on va pouvoir s'en convaincre par la suite.
I Mise en évidence du phénomène :
Le gradient de gravité a pour origine l'attraction différentielle qui s'exerce sur des masses situées à des distances différentes du centre de la Terre.
Naturellement nous supposons que le potentiel terrestre est newtonien.
La figure présente 2 cas: l'haltère simple et le satellite réel. Vous commencerez par le cas simple et adapterez la méthode au cas général. Sur l'haltère constituée de 2 masses ponctuelles m reliées par une tige sans masse, on pourra
a) Vérifier l'existence de 2 positions d'équilibre
b) Montrer que le couple de rappel en G vaut : |
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I = 2 m l2 est le moment d'inertie transverse en G,
m = 39.86 104 km3s-2 est la constante de gravitation terrestre. La gravitation permet donc de créer un rappel élastique comme un ressort . Vous calculerez le potentiel U(q) et exprimerez que le couple vaut :un développement limité judicieux fera apparaître le résultat.
c) Essayer d'évaluer l'ordre de grandeur pour une orbite basse
d) Calcul du couple de gradient de gravité sur un satellite quelconque
Données : M masse du satellite
I matrice principale d'inertie en G du satellite, la pulsation orbitale
wo sur le cercle de rayon r, Z a matrice des cosinus directeurs de l'axe
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Conseils:
1- Poser de composantes x, y, z dans le repère satellite Rs
2- Calculer la force élémentaire df
3- Etablir le couple élémentaire |
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4- Effectuer un développement limité pour établir
où
c désigne l'angle OGM5- Vous utiliserez les coordonnées x y z puis vos connaissances sur le centre d'inertie et les moments d'inertie d'un solide par rapport à ses axes principaux pour conclure:
6- Le calcul de
a, b, g cosinus directeurs de Z donne sur x y z7- Le couple de gradient de gravité vaut exprimé en axes satellite :
8- Pour de petits angles en contrôle d'attitude notamment en ne gardant que les termes d'ordre 1
II Equations des oscillations libres du satellite autour du centre d'inertie G :
Vous établirez à l'aide du théorème du moment cinétique en projection sur x y z les 3 équations linéarisées suivantes:
Telles sont les équations de départ du contrôle d'attitude, que le SCAO devra prendre en compte comme dynamique libre du satellite, sous la seule action du gradient de gravité
III Remarques et commentaires pratiques :
Il apparaît de toute évidence que le mouvement de tangage est découplé des 2 autres mouvements, ce qui est une simplification appréciable pour le SCAO.
De même la condition de stabilité en tangage est claire: IL < IR
Par ailleurs les équations ROULIS-LACET sont couplées par des termes de type gyroscopique n'apportant pas de dissipation d'énergie et stabilisant le système. Ces termes sont ceux contenant les dérivées du premier ordre.
Une étude plus fine et complète de la stabilité du système conduit au diagramme plan de stabilité de la page suivante, où sont portées comme coordonnées les quantités l1 et l2.
En pratique lors du dimensionnement de mâts en particulier on choisit la configuration la plus sûre:
Conclusions
Une configuration stable du satellite est obtenue avec
IL < IR < IT
Axe de petite inertie suivant la géocentrique locale
Axe de grande inertie normal au plan orbital
Axe d'inertie moyenne suivant la tangente à l'orbite
Nécessité de prévoir un amortissement des oscillations
On notera que les termes de rappel élastique sont d'autant plus importants que les moments d'inertie sont différents. Cette remarque amène à choisir un mât qui déploie une masse m à son extrémité, mât déroulé suivant l'axe de lacet. Vous aurez ainsi l'occasion de faire un choix technologique de type de mât.
On comprendra aussi que IT = IR rend le lacet incontrôlable du moins en oscillations libres.
Guiziou Robert février 1999